Признаки делимости чисел: таблица с делимостью натуральных простых или составных цифр, их делители или кратные и как использовать это

§ 1. Делимость чисел.

1. Делители и кратные.

20 яблок можно разделить поровну между 4 ребятами. Каждый получит по 5 яблок. А если надо разделить (не разрезая) 20 яблок между 6 ребятами, то каждый получит по 3 яблока, а ещё 2 яблока останутся. Говорят, что число 4 является делителем числа 20, а число 6 не является делителем числа 20.

Делитель натурального числа. Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12.Число 1 является делителем любого натурального числа.

Пусть на столе лежат пачки, в каждой из которых по 8 печений. Не раскрывая пачек, можно взять 8 печений, 16 печений, 24 печенья, а 18 печений так взять нельзя. Числа 8, 16, 24 делятся на 8, а 18 на 8 не делится. Говорят, что числа 8, 16, 24 кратны числу 8, а число 18 не кратно числу 8.

Кратное натурального числа. Кратным натурального числа а называют натуральное число, которое делится без остатка на а.

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных. Например, первые пять чисел, кратных 8, такие: 8, 16, 24, 32, 40. Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.

ВОПРОСЫ:Какое число называют делителем данного натурального числа? Какое число называют кратным натуральному числу а? Какое число является делителем любого натурального числа? Какое число и кратно n, и является делителем n?

2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2.

Всякое натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить эту цифру 0.

Например, 280 делится без остатка на 10, так как 280 : 10 = 28.

При делении же числа 283 на 10 получаем неполное частное 28 и остаток 3 (т. е. последнюю цифру записи этого числа). Поэтому если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это число не делится без остатка на 10.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа.

Число 10 = 2 • 5. Поэтому число 10 делится без остатка и на 2, и на 5. Отсюда и любое число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка и на 5, и на 2.

Например, 60 = 6 • 10 = 6 • (2 • 5) = (6 • 2) • 5 = 12 • 5, значит, 60 : 5 = 12. А из того, что 60 = 6 • (5 • 2) = (6 • 5) • 2 = = 30-2, получаем, что 60 : 2 = 30.

Каждое число можно представить в виде суммы полных десятков и единиц, например: 246 = 240 + 6, 1435 = = 1430 + 5. Так как полные десятки делятся на 5, то и всё число делится на 5 лишь в том случае, когда на 5 делится число единиц. Это возможно только тогда, когда в разряде единиц стоит цифра 0 или 5.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

Например, числа 870 и 875 делятся без остатка на 5, а числа 872 и 873 на 5 без остатка не делятся.

Числа, делящиеся без остатка на 2, называют чётными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называют нечётными. Из однозначных чисел числа 0, 2, 4, 6 и 8 чётны, а числа 1, 3, 5, 7 и 9 нечётны. Поэтому и цифры О, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечётными. Все полные десятки делятся на 2 без остатка (т. е. они чётны). Значит, любое натуральное число чётно лишь в случае, когда в разряде единиц стоит чётная цифра, и нечётно, когда в разряде единиц стоит нечётная цифра.

Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно.

Например, числа 2, 60, 84, 96, 308 чётные, а числа 3, 51, 85, 97, 509 нечётные.

ВОПРОСЫ:Как по записи натурального числа определить, делится оно без остатка на 10 или не делится на 10? Как по записи натурального числа узнать, делится оно без остатка на 5 или не делится на 5? Как по записи натурального числа узнать, делится оно без остатка на 2 или не делится на 2?

5. Разложение на простые множители.

Число 210 является произведением чисел 21 и 10. Значит, 210 = 21 • 10. Числа 21 и 10 составные. Их тоже можно представить в виде произведений: 21 = 3 • 7, 10 = 2 • 5. Получаем: 210 = 3 • 7 • 2 • 5. Теперь в произведении 3 • 7 • 2 • 5 все множители — простые числа.

Проектные задачи.

Вы смотрели: Математика 6 класс УЧЕБНИК 2021 в 2-х частях (УМК Виленкин и др.) §1 Делимость чисел (Делители и кратные. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Признаки делимости на 9 и на 3. Простые и составные числа. Разложение на простые множители. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное).

Упражнения

1. Выпишите натуральные числа: а) 1,5; 2; 0; -5; 4; 198; 1.б) -8; 101; 57; 0; 1,25; 0,4; -8; 1000.Решение:а) 2; 4; 198; 1.

2. Выпишите целые числа:а) 1,5; 2; 0; -5; 4; 198; 1.б) -8; 101; 57; 0; 1,25; 0,4; -8; 1000.Решение:а) 2; 0; -5; 4; 198; 1.

3. Выпишите числа, которые являются простыми:а) 1; 6; 3; 10; 17; 81; 111; 23; 100.б) 7; 56; 9; 67; 13; 25; 48; 21; 41; 53.Решение:а) 3; 17; 23 — простые числа, т.к. делятся только на себя и на 1. 1 не является ни простым, ни составным числом; 6 делится на 1, 2, 3, 6; 10 делится на 1, 2, 5, 10;81 делится на 1, 3, 9, 27, 81;111 делится на 1; 3; 37; 111;100 делится на 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

4. Выпишите числа, которые делятся на 9.а) 10; 12; 9; 18; 3654; 108; 19; 109.б) 45; 108; 16; 81; 2718; 1919; 54.Решение: а) 9; 18 (1+8 =9 делится на 9); 3654 (3+6+5+4=18 делится на 9); 108 (1+0+8=9 делится на 9).

5. Выпишите пары взаимно простых чисел:а) 24 и 35; 12 и 27; 40 и 23; 42 и 56.б) 15 и 28; 19 и 57; 64 и 56; 5 и 12; 111 и 89.Решение:а) 24 и 35 (24=2*2*3*3, 35=5*7, нет общих множителей); 40 и 23 (40=2*2*2*5, 23=23, нет общих множителей).12 и 27 не взаимно простые, т.к. 12=2*2*3, 27=3*3*3, общий множитель 3.42 и 56 не взаимно простые, т.к. 42=2*3*7, 56=2*2*2*7, общие множители 2 и 7.
6. Найдите значение выражения:
Решение:а) 105=3*5*7; 63=3*3*7; НОД(105; 63)= 3*7=21;24=2*2*2*3; 32=2*2*2*2*2; НОД(24; 32)=8;НОК(5; 11)=5*11=55;НОД(17; 21)=1Подставим, полученные числа в исходное выражение:(3*21 — 8)/55 + 1= 2.Ответ: 2.
7. Найдите:а) сумму всех натуральных чисел, кратных 6, которые принадлежат промежутку (12; 56).б) сумму всех натуральных двузначных чисел, кратных 5, не превосходящих число 45.Решение:а) Числа, которые кратны 6 делятся на 2 и на 3

Обратите внимание, что число 12 не принадлежит заданному промежутку. Следовательно, сумма чисел 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 равна 252.

Может ли а) сумма пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом?б) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом?Решение:а) Обозначим первое число n, второе — (n+1) , третье — (n+2), четвертое — (n+3), пятое — (n+4).Запишем сумму: n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4), раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим 5n+10, вынесем 5 за скобки: 5(n+2).Как видим, полученная сумма делится на 5, следовательно и число делится на 5 и не является простым.Ответ: не может.

9. а) НОК двух натуральных чисел не делящихся друг на друга равен 90, а НОД этих чисел равен 6. Найти эти числа.б) Произведение двух натуральных чисел равно 80, а сумма этих чисел равна 24. Найти частное от деления НОК этих чисел на НОД этих чисел.Решение:а) обозначим числа х и у. НОК(х, у)=90=2*3*3*5. НОД(х, у)=6=2*3.Множители 2 и 3 должны присутствовать в разложении каждого числа, т.к. они есть в НОД этих чисел и , учитывая, что х не делится на у и у не делится на х, получим: х=2*3*3=18, у=2*3*5=30.Ответ: 18 и 30.

10. Докажите, что:а) значение выражения n5 — 5n3+ 4n делится на 120 при любом натуральном n.б) значение выражения 3n+2 — 2 n+2+ 3n — 2n при любых натуральных значениях n кратно 10.Решение:а) в выражении n5 — 5n3+ 4n вынесем n за скобки: n(n4 — 5n2+ 4). Рассмотрим трехчлен n4 — 5n2+ 4, сделаем замену х=n2, х — неотрицательно.х2 — 5х + 4, найдем корни по теореме Виета: 4 и 1, тогда х2 — 5х + 4=(x-1)(x-4).Получаем: n(n2-1)(n2-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2), расположим множители в порядке возрастания: n(n2-1)(n2-4)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2), что соответствует записи произведения пяти последовательных натуральных чисел.Представим число 120 как произведение пяти множителей: 120=1*2*3*4*5, а это как раз произведение пяти последовательных натуральных чисел. Следовательно, заданное выражение делится на 120.

11. Найдите: а) остаток от деления некоторого числа на 4, если при делении этого числа на 16 остаток равен 9.б) остаток от деления некоторого числа на 5, если при делении этого числа на 25 остаток равен 7.Решение:а) Обозначим заданное число — а, тогда по формуле деления с остатком а=16*n+9, n — натуральное число. Преобразуем: a=16*n+8+1=(16*n+8)+1=4(4*n+2)+1, следовательно, при делении этого числа на 4 получим остаток 1.Ответ: 1.

Принцип Дирихле

Иногда при решении задач, связанных с делимостью чисел, помогает использование принципа Дирихле. Звучит он так:

Формулировка довольно сложная, поэтому для простоты часто используют пример с голубями и клетками:

Посмотрите на рисунок, где изображены 10 голубей и 9 клеток:

Действительно, здесь не получится распределить птиц по клеткам так, чтобы в каждом была не более чем одна птица. Однако на этом принцип Дирихле не исчерпывается. Что можно сказать о случае, когда животных меньше, чем клеток? Ясно, что одна из них останется пустой.

На рисунке показан случай, когда есть 7 голубей и 9 клеток:

Пусть есть поле, разбитое на 4 квадрата. На нем размещено 9 кругов:

Ясно, что в одной из клеток будет более 1 кружочка. Но более того, в одном из них обязательно окажется более 2 кругов! Действительно, даже если в каждом квадрате находилось бы ровно 2 фигуры, то тогда их общее количество равнялось бы 4•2 = 8, а их 9. Но также ясно, что хотя бы в одном квадрате будет менее 3 кругов.

Здесь мы приходим к связи между принципом Дирихле и делением с остатком. Если поделить 9 на 4, то получим 2 и в остатке 1:

9:4 = 2 (остаток 1)

2 – это неполное частное. Получается, что отношение 9/4 находится как бы между числами 2 и 3:

2< 9/4 < 3

или же

2< 9/4 < 2 + 1

В одной из клеток окажется не менее 3 кругов, но также в одной из клеток будет не более 2 кругов. Такая логика позволяет сформулировать обобщение принципа Дирихле:

Под «объектами» подразумеваются кролики или «птицы», которые сидят в клетках, а под классами – эти самые клетки. Рассмотрим для примера задачу на принцип Дирихле. Пусть в классе находится 38 учеников. Найдется ли такой месяц, во время которого день рождения будет сразу у 4 или более учеников? Очевидно, что найдется, ведь в году 12 месяцев. Поделим число учеников на количество месяцев в году:

38:12 = 3 (остаток 2)

Ученики – это объекты, которые условно распределены по классам – месяцам своего рождения. По принципу Дирихле, существует такой месяц, в котором день рождения отмечают не менее 3 + 1 = 4 ученика.

Ещё одно замечание. Под объектами могут подразумеваться не только отдельные элементы множества, но и какие-то классы элементов множества. Посмотрим ещё раз на рисунок с кружочками:

Здесь 9 кругов окрашены в 5 различных цветов. Согласно принципу Дирихле можно утверждать не только то, что в одной из клеток окажется минимум 3 круга, но и то, что найдется клетка, где будут находиться фигуры хотя бы 2 разных цветов.

Рассмотрим одну особо сложную задачу, у которой, однако, довольно простое решение. Возьмем все натуральные числа от 1 до 10000. Можно ли сформировать множество, состоящее из 5001 числа, чтобы ни одно число в этом множестве не делилось на другое число из этого множества? Попробуйте найти ответ на этот вопрос самостоятельно. Если это не получилось, то читайте решение:

Среди чисел от 1 до 10000 находится ровно 5000 нечетных и 5000 четных чисел. Любое четное число можно представить как произведение нечетного числа и какой-то степени двойки. Для этого надо делить четное число на 2 до тех пор, пока не получится нечетное, например:

54 = 2•27 = 21•27

60 = 2•30 = 2•2•15 = 22•15

144 = 2•72 = 2•2•36 = 2•2•2•18 = 2•2•2•2•9 = 24•9

64 = 2•32 = 2•2•16 = 2•2•2•8 = 2•2•2•2•4 = 2•2•2•2•2•2 = 26•1

Если же число нечетное, то его можно записать как произведение нечетного числа и двойки в нулевой степени:

33 = 1•33 = 2•33

Получается, что любое натуральное число z можно представить в виде

z = 2n•k

где n – неотрицательное целое число, а k – нечетное число, которое, очевидно, не больше самого z.

Представим в таком виде все числа от 1 до 10000. При этом в качестве нечетного числа k мы сможем использовать только те 5000 нечетных чисел, которые не больше 10000. Теперь выберем 5001 число. В силу принципа Дирихле ясно, что хотя бы у двух из них число k будет совпадать. Но если у двух чисел это число k совпадает, то одно из них обязательно делится на другое!

Действительно, пусть одно число представимо как 2n•k,а второе как 2m•k, причем n>m. Тогда получаем

то есть при делении 2n•k на 2m•k получается целое число – какая-то степень двойки. Например, число 144 представимо как

144 = 24•9

а число 36 как

36 = 22•9

поэтому 144 делится на 36:

Так как число k может принимать только 5000 значений (именно столько нечетных чисел находится между 1 и 10000), а нам надо сформировать множество из 5001 числа, то по принципу Дирихле мы в любом случае выберем два числа с одинаковым k. Одно из них будет делиться нацело на другое, поэтому сформировать требуемое множество не удастся.

Сумма цифр числа 5.

Сумма цифр числа 5 равна 5

Произведение цифр числа 5.

Произведение цифр числа 5 равна 5

Квадрат числа 5.

Квадрат числа 5 равен 25

Куб числа 5.

Куб числа 5 равен 125

Квадратный корень числа 5.

Квадратный корень числа 5 равен 2.2360.

Число 5 в двоичной системе счисления.

Запись числа 5 в двоичной системе счисления выглядит так: 101

Количество значащих нулей в двоичной записи числа 5 = 1

Количество едениц в двоичной записи числа 5 = 2

(что бы не забыть запишите число 5 в двоичной системе счисления в блокнот.)Число 5 в шестнадцатеричной системе счисления.

Запись числа 5 в шестнадцатеричной системе счисления выглядит так: 5

(что бы не забыть запишите число 5 в шестнадцатеричной системе счисления в блокнот.)Число 5 в восьмеричной системе счисления.

Запись числа 5 в восьмеричной системе счисления выглядит так: 5

(что бы не забыть запишите число 5 в восьмеричной системе счисления в блокнот.)Число 5 является простым!

Кратно 5

Математически число кратно 5, если оно может быть записано как 5 * k, где «k» — целое число.

Например, можно увидеть, что 10 = 5 * 2 или 35 равно 5 * 7.

Поскольку в предыдущем определении было сказано, что «k» является целым числом, его также можно применять для отрицательных целых чисел, например, для k = -3, мы имеем -15 = 5 * (- 3), что подразумевает, что — 15 кратно 5.

Отсюда, при выборе разных значений для «k» будут получены различные кратные числа 5. Поскольку число целых чисел бесконечно, то число кратных 5 также будет бесконечным.

Алгоритм деления Евклида

Алгоритм деления Евклида, который гласит:

Для двух целых чисел «n» и «m», где m ≠ 0, существуют целые числа «q» и «r», такие что n = m * q + r, где 0≤ r

«N» называется дивидендом, «m» — делителем, «q» — частным, а «r» — остальным..

Когда r = 0, говорят, что «m» делит «n» или, что то же самое, «n» кратно «m».

Следовательно, вопрос о том, на что кратны 5, равносилен вопросу о том, какие числа делятся на 5.

Почему сДостаточно увидеть количество единиц?

Если задано любое целое число «n», возможными номерами для вашего устройства являются любые числа от 0 до 9.

Рассматривая подробно алгоритм деления для m = 5, мы получаем, что «r» может принимать любое из значений 0, 1, 2, 3 и 4..

В начале был сделан вывод, что любое число при умножении на 5 будет иметь в единицах цифру 0 или число 5. Это означает, что число единиц 5 * q равно 0 или 5..

Таким образом, если сумма n = 5 * q + r выполнена, количество единиц будет зависеть от значения «r», и возможны следующие случаи:

-Если r = 0, то число единиц «n» равно 0 или 5.

-Если r = 1, то количество единиц «n» равно 1 или 6.

-Если r = 2, то число единиц «n» равно 2 или 7.

-Если r = 3, то число единиц «n» равно 3 или 8.

-Если r = 4, то число единиц «n» равно 4 или 9.

Вышесказанное говорит нам, что если число делится на 5 (r = 0), то число его единиц равно 0 или 5..

Другими словами, любое число, оканчивающееся на 0 или 5, будет делиться на 5, или то же самое, будет кратно 5.

По этой причине вам нужно только увидеть количество единиц.

ссылки

Альварес, J., Торрес, J., Лопес, J., Круз, Е. д., И Тетумо, J. (2007). Основная математика, опорные элементы. Университет Дж. Автонома де Табаско.
Баррантес Х., Диас П., Мурильо М. и Сото А. (1998). Введение в теорию чисел. EUNED.
Барриос, А. А. (2001). Математика 2о. Редакция Прогресо.
Гудман А. и Хирш Л. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Пирсон Образование.
Рамирес, C. & Камарго, Е. (s.f.). Соединения 3. Редакция Норма.
Сарагоса, A.C. (s.f.). Теория чисел. Редакция Vision Books.

Страницы

Главная страница
1. Натуральные числа
2. Точка. Прямая. Плоскость
3,4 Запись натуральных чисел. Классы в записи числа
5. Отрезок
6. Сравнение натуральных чисел
7. Луч
8, 9. Координатный луч
10, 11 Округление натуральных чисел
12, 13 Сложение натуральных чисел
14, 15, 16. Угол
17. Вычитание натуральных чисел
18. Ломаная
19, 20. Задачи на нахождение чисел по их сумме и разности
21, 22. Множества
23, 24, 25. Уравнения
26, 28. Обобщение по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел»
29, 30, 31. Умножение натуральных чисел
32, 33. Степень числа с натуральным показателем
34, 35. Прямоугольник. Квадрат
36, 37, 38. Распределительный закон умножения
40. Деление натуральных чисел
41, 42. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и частному
43, 44. Задачи на нахождение чисел по их разности и частному
45, 46. Числовые выражения
47, 48, 49. Выражения с переменными
50, 51. Задачи на части
52. Обобщение по теме «Умножение и деление натуральных чисел»
56, 57. Делители и кратные
58. Признаки делимости на 2 и 4
59. Признаки делимости на 5 и 10
60, 61. Задачи на нахождение общих элементов множеств
62, 63. Деление с остатком
64, 65. Признаки делимости на 3 и на 9
66, 67. Прямоугольный параллелепипед. Куб
68, 69. Объем параллелепипеда
70, 71, 72. Задачи на движение
73, 74, 75. Задачи на движение по воде
76. Простые и составные числа
77, 78. Разложение числа на простые множители
79. Шкалы
80, 81. Измерение углов
82, 83. Общие делители. Взаимно простые числа
84, 85. Наибольший общий делитель
86, 87. Наименьшее общее кратное
88. Перпендикулярные и параллельные прямые
89, 90. Формулы
93, 94, 95. Задачи на нахождение элементов множест…
96, 97. Понятие дроби
98, 99. Дробь как частное от деления натуральных чисел
100. Какую часть одно число составляет от другого
101, 102. Нахождение части (дроби) от числа
103, 104. Нахождение числа по его части (дроби)
105, 106. Основное свойство дроби
107, 108. Сокращение дроби
109, 110. Приведение дробей к общему знаменателю
111, 112. Сравнение дробей
Задания по теме «Дроби»
113, 114. Правильные и неправильные дроби
115, 116, Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
117-120. Сложение дробей с разными знаменателями
121, 122. Законы сложения дробей
123, 124. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
125, 126, 127. Вычитание дробей с разными знаменателями
131, 132. Умножение дробей
133, 134. Законы умножения дробей
139, 140. Деление дробей
141, 142, 143. Часть (дробь) от числа
144, 145. Задачи на совместную работу
146, 147, 148. Обобщение по теме «Умножение и деление дробей»
149, 150. Смешанные дроби
151, 152. Сравнение смешанных дробей
153, 154. Изображение дробей на координатном луче
155, 156. Сложение смешанных дробей
157, 158. Вычитание смешанных дробей
159, 160. Умножение и деление смешанных дробей
161, 162. Среднее арифметическое
163, 164, 165. Упражнения на все действия со смешанными дробями
166, 168. Обобщение «Смешанные дроби»
169, 170, 171. Повторение

Это интересно

Древнегреческий философ (профессиональный мыслитель), математик и мистик (верил в существование сверхъестественных сил) Пифагор Самосский, чётные числа считал женскими, а нечётные — мужскими

На рисунке числа от 1 до 100 (чётные и нечётные числа разного цвета)

В старину люди верили в магию чисел, где всё хорошее ассоциировалось с нечётными цифрами, а плохое – с чётными. Поэтому, например, в Рождество на стол всегда ставили нечётное количество блюд. Люди верили, что нечётные числа символизируют постоянное продолжение жизни, незавершенность. А чётные, наоборот, означают конечность всего живого, остановку движения.

Делимость – признаки

В разных классах начальной школы (иногда – в среднем звене) активно рассматриваются не только делители числа, но и признаки делимости. Эта информация тоже включена в рассматриваемую теорию. Она помогает найти простые делители заданного числа намного быстрее. А еще – понять, простое оно или сложное. Узнать количество делителей, которые имеют числа, будет намного проще.

На десятку

Если «цифра» заканчивается на 0, она может делиться без остатка на 10. Это – правило, которое нужно запомнить в младших классах. Обычно такие элементы относятся к сложным/составным. Об этом учителя говорят еще в начальных классах. Связано это с тем, что «цифра», которая делится на 10, обычно может быть поделена:

сама на себя;
на десятку;
на пятерку.

Из ранее изученных определений следует достоверность последнего утверждения.

Делимость на 5 и 2

Теперь стоит изучить более сложные варианты. Они тоже рассматриваются в начальных классах и позволяют понять, сколько делителей будет у «цифры», заданной в примере. Среди основных знаний, которые нужно освоить в начальной школе, выделяют признаки делимости на двойку и пятерку.

Тут в начальных классах требуется запомнить, что:

Любая «цифра», которая заканчивается на 0, делится без остатка на 5 и 2.
Если в конце стоит 0 или 5, то возможно деление без остатков на «пятерку».
Когда «цифра» заканчивается на 0, 2, 4, 6, 8 – оно будет делиться на 2. Остаток не предусматривается.

Все это поможет быстрее найти делитель числа в начальных классах. Но есть и иные признаки делимости. Они тоже необходимы для нахождения рассматриваемых элементов.

Согласно установленным правилам, если сумма цифр в заданном элементе делится на 3, то все оно тоже разделяется без остатка на «тройку». Пример – 27. Сумма его составляющих будет равна 9. Оно делится на 3. Отсюда следует, что 27 при делении на «тройку» остатка не образовывается.

Рассматривая делители числа, стоит обратить внимание на еще один признак делимости. Речь идет о 9

Если сумма цифр в заданном компоненте делится на «девятку», то и все оно тоже не образовывает остатка вследствие выполняемых математических манипуляций. Соответствующий принцип тоже изучается в младших классах.

Чётные и нечётные числа

В математике существуют два типа целых чисел – чётные и нечётные. Основная их характеристика заключается в том, что чётные числа делятся на два, а нечётные – нет.

Например, число 4 – чётное, потому что оно делится нацело на два: 4/2=2. А число 5 – нечётное, потому что оно не делится нацело на два: 5/2=2,5.

Также можно отметить, что в чётных числах последняя цифра всегда является чётной (0, 2, 4, 6, 8), а в нечётных – нечётной (1, 3, 5, 7, 9).

При выполнении заданий на определение кратного числа, чётность и нечётность числа играют важную роль. Например, если число делится на 2 и на 3, то оно делится также на 6 (2*3), если число чётное, то оно кратно 2, а если нечётное – то не кратно 2.

Знание свойств и характеристик чётных и нечётных чисел позволяет лучше понимать математические задачи и решать их более эффективно.

Примеры использования чисел, кратных 5

Число сорок пять является кратным пяти. Например, в учебном расписании может быть указано время начала занятий — 9:45.

Число сорок также является кратным пяти. Например, в день можно выпить 40 грамм витамина C.

Двадцать пять — еще одно число, кратное пяти. Например, в ресторане стоимость одного блюда может быть 25 долларов.

Тридцать пять также кратно пяти. Например, во время рекламного блока на телевизионном канале показывают в среднем 35 секунд рекламы.

Тридцать также кратно пяти. Например, в одном часе можно прогуляться на 30 минут.

Двадцать пять — еще одно число, кратное пяти. Например, в автобусе может быть 25 пассажиров.

Десять является числом, кратным пяти. Например, в супермаркете можно купить 10 яблок.

Пятнадцать — еще одно число, кратное пяти. Например, на календаре может быть отмечен праздник, который выпадает на 15 августа.

Числа, кратные 5 во времени

Во времени можно найти множество чисел, кратных 5. Рассмотрим некоторые из них:

Десять — первое число, которое является кратным 5. Оно обозначает количество времени, равное двум часам.
Тридцать — число, кратное 5. Оно обозначает количество времени, равное шести часам.
Двадцать — число, кратное 5. Оно обозначает количество времени, равное четырем часам.
Тридцать пять — число, которое является кратным 5. Оно обозначает количество времени, равное семи часам.
Двадцать пять — число, кратное 5. Оно обозначает количество времени, равное пяти часам.
Пятнадцать — число, кратное 5. Оно обозначает количество времени, равное трем часам.
Пять — число, кратное 5. Оно обозначает количество времени, равное одному часу.
Сорок пять — число, которое является кратным 5. Оно обозначает количество времени, равное девяти часам.

Таким образом, во времени можно встретить различные числа, кратные 5, которые отражают определенное количество часов.

Математические задачи с числами, кратными 5

Число 15: Если расстояние между двумя городами составляет 270 км, то сколько полных пятичасовых периодов потребуется, чтобы преодолеть это расстояние на скорости 50 км/ч?

Число 25: В школьной библиотеке имеется 125 книг. Сколько полных пяток можно составить из этих книг?

Число 5: Анна хочет организовать свой день так, чтобы проводить время равномерно между уроками. Если она учится 8 уроков в день, то сколько минут Анна должна учиться между каждым уроком, если она хочет распределить время равномерно?

Число 20: В классе учатся 30 учеников. Каждый ученик получает по 4 шарика в день. Сколько полных пяток шариков понадобится, чтобы раздать по 4 шарика каждому ученику?

Число 10: Самолет летит со скоростью 300 км/ч. Сколько полных часов ему потребуется, чтобы преодолеть расстояние в 3000 км?

Число 35: Джонатан хочет накопить 7000 рублей. Каждый день он кладет в свой копилку половину своего карманных денег, которые составляют 10 рублей. Сколько дней ему понадобится, чтобы накопить 7000 рублей?

Число 30: Каждый день пчела производит 500 г меда. За какое время пчела произведет 15 кг меда?

Число 45: В году насчитывается 365 дней. Сколько полных пяток дней составляют эти 365 дней?

Правила деления нацело

Деление нацело – это способ разделения числа на равные части или группы. Если результатом деления является целое число без остатка, мы говорим, что число делится нацело.

Второе правило заключается в том, что число должно быть целым числом. Нельзя делить дробное число на другое число; в этом случае необходимо использовать специальные методы, такие как десятичная дробь.

Третье правило состоит в том, что необходимо убедиться, что число, которое мы делим (делимое), больше или равно делителю. Если делимое меньше делителя, результат деления будет меньше 1, то есть дробь.

Четвертое правило заключается в том, что необходимо убедиться, что делитель является множителем делимого числа. Если делитель не является множителем делимого числа, то результатом будет дробь или число с остатком.

Пример: 15 делится нацело на 3, потому что 3 является множителем числа 15 и результатом деления 15 на 3 является целое число 5, то есть 15 = 3 * 5.

Математика 5-6 классы. 19. Делители натурального числа. Признаки делимости

Подробности: Категория: Математика 5-6 классы

https://youtube.com/watch?v=Z6rQQ8IC4CA

Свойства делимости

Свойство 1. Если одно число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье.

Например, 777 делится на 111, потому что 777 = 7 • 111, а 111 делится на 3, потому что 111 = 37 • 3. Из этого следует, что 777 делится на 3, потому что 777 = 7 • 111 = 7 • (37 • 3) = (7 • 37) • 3 = 259 • 3.

Свойство 2. Если каждое из двух чисел а и b делится на число с, то сумма а + b и разность а — Ь делятся на с.Например, 100 делится на 4, потому что 100 = 25 • 4; 36 тоже делится на 4, потому что 36 = 9 • 4.

Тогда 136 делится на 4, потому что 136= 100 + 36 = 25 • 4 + 9 • 4 = (25+9) • 4 = 34 • 4.Можно также заключить, что число 64 делится на 4потому что 64=100—36 = 25 • 4—9 • 4 = (25—9) • 4= 16 • 4.

Свойство 3. Если одно из двух чисел а и Ь делится на с, а другое не делится на с, то сумма а + b и разность а—b не делятся на с.Например, 148 делится на 37, потому что 148 = 4-37, а 11 не делится на 37.Рассмотрим равенство (148+ 11) —148= 11. Справа в нем находится число, не делящееся на 37. Если допустить, что сумма (148+11) делится на 37, то левая часть делится на 37 как разность чисел, делящихся на 37. Тогда и правая часть должна делиться на 37, а это неверно. Поэтому (148+11) не делится на 37.Также можно доказать, что и разность (148—11) не делится на 37.

Признаки делимости

Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.Например, 4560 делится на 10, потому что 4560 = 456 • 10. Число 4561 не делится на 10, потому что 4561 = 4560+ 1—сумма числа 4560, делящегося на 10, и числа 1, не делящегося на 10 (свойство 3).

Если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5.Например, число 2300 делится на 5, потому что 2300 = 230-10, а 10 делится на 5 (свойство 1), Число2305 тоже делится на 5, потому что 2305 = 2300 + 5 сумма чисел, делящихся на 5 (свойство 2). Число 2327 не делится на 5, потому что 2327 = 2320 + 7—сумма чисел 2320, делящегося на 5, и 7, не делящегося на 5 (свойство 3).Если число оканчивается на цифры 0, 2, 4, б, 8, то оно делится на 2.Если число оканчивается на цифры 1, 3, 5, 7, 9, то оно не делится на 2.Например, число 130 делится на 2, потому что 130=13 • 10, а 10 делится на 2 (свойство 1). Число 136 тоже делится на 2, потому что 136= 130 + 6—сумма чисел, делящихся на 2,Число 137 не делится на 2, потому что 137 = 130 + 7 сумма числа 130, делящегося на 2, и числа 7, не делящегося на 2 (свойство 3).Если две последние цифры числа образуют число, делящееся на 4, то и само число делится на 4.Например, число 3700 делится на 4, потому что 3700 = 37 • 100, а 100 делится на 4 (свойство 1), Число 3732 делится на 4, потому что 3732 = 3700 + 32—сумма чисел 3700 и 32, делящихся на 4 (свойство 2). Число 3730 не делится на 4, потому что 3730 = 3700 + 30 сумма чисел 3700, делящегося на 4, и 30, не делящегося на 4 (свойство 3).Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.Например, сумма цифр числа 7245 делится на 9:7 + 2 + 4 + 5=18. Число 7245 делится на 9, потому что его можно представить в виде

7 • 1000 + 2 • 100 + 4 • 10 + 5 = 7 • (999+ 1) + 2 • (99 + 1) + 4 • (9 + 1) + 5 = (7 • 999+2 • 99+4 • 9) +(7+2+4+5), где сумма в первой скобке делится на 9, так как каждое слагаемое делится на 9. А во второй скобке стоит сумма цифр данного числа, делящаяся на 9.Число 375 не делится на 9, так как сумма его цифр 3+7+5=15 не делится на 9. Это можно доказать следующим образом:

375=3 • (99+1) +7 • (9+1) +5 = (3 • 99+7 • 9) + (3+7+5), где сумма в первой скобке делится на 9, а во второй скобке стоит сумма цифр числа 375, не делящаяся на 9.Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.Например, у числа 375 сумма цифр делится на 3 (3+7+5=15) и оно само делится на 3, потому что 375= (399+7 • 9) + (3+7+5), где сумма в первой скобке делится на 3, а во второй скобке стоит сумма цифр числа 375, тоже делящаяся на 3.Число 679 не делится на 3, так как сумма цифр 6+7+9=22 не делится на 3. Это можно доказать так: 679 = 6 • (99+1) +7 • (9+1) +9 = (699+7 • 9) + (6+7+9), где сумма в первой скобке делится на 3, а во второй скобке стоит сумма цифр числа 679, не делящаяся на 3.